¡El monito si se puede desenlazar, qué felicidad! Aquí está el enunciado del problema. Éste es otro problema parecido que me animó a resolver el primero.
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domingo, abril 05, 2009
¡Sí se puede!
viernes, abril 03, 2009
FFT
¿No es hermosa?
f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{- 2\pi i x \xi}\,dx \right) e^{2 \pi i x \xi}\,d\xi Sucede que existe una versión discreta de la transformada de Fourier que resulta ser la serie de Fourier de la transformada de Fourier aplicada a una función discreta. También sucede que a alguien se le ocurrió inventar una "versión express" (Fast Fourier Transformation) de la transformada discreta, la cual es muy pero muy rápida de calcular. Por supuesto tiene un incoveniente, que la función debe consistir en exactamente 2n puntos igualmente espaciados. Pero resulta que yo quiero calcular la transformada discreta para un número arbitrario de puntos espaciados arbitrariamente y no me importa la velocidad y entonces me encuentro con que la FFT es tan, pero tan famosa, que parece que nadie se ha molestado en hacer un programita que calcule la transformada "lenta" y me facilite la vida.
jueves, abril 02, 2009
Prueba
Prueba del soporte para LaTeX:
\int_{0}^{1}\frac{x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}dx=\frac{22}{7}-\pi
martes, noviembre 18, 2008
Atajo
"El camino más corto hacia cualquier verdad que involucra cantidades reales frecuentemente atraviesa el plano complejo"
Jacques Hadamard
sábado, noviembre 01, 2008
Probabilidad de ser feliz (2)
Para proponer el modelo es necesario definir lo que se entienede por la probabilidad de ser feliz. Imaginemos que tenemos una persona tiene una probabilidad de 0.5 de ser feliz. Eso significa que si pudiera repetir su vida muchas veces, en la mitad de los casos encontraría la felicidad y en la otra mitad no lo haría.
viernes, octubre 31, 2008
Probabilidad de ser feliz (1)
Gracias a la experiencia que he adquirido con mis múltiples intentos de conseguir novio y alconocimiento que tengo sobre cálculo de probabilidades, estoy en condición de poder estimar qué probabilidad tengo de conseguir novio.
Primero sé que aproximadamente sólo una de cada 20 personas (hombres) que contacto me permitirá hablar con ella. Luego que sólo una de cada 20 con las que hablo me permitirá hablarle más de diez min. De ellas sólo una de cada 20 me permitirá conocerla en persona. Luego sólo a una de cada 20 le agradaré y de ellas sólo una de cada 20 querrá ser mi novio. Finalmente sólo una de cada 20 querrá ser mi novio por toda la vida. Además aproxim adamente un 20% de la población es homosexual, esto es una de cada 20 personas.
Aunque todas estas cantidades son meras estimaciones, por lo menos darán el orden de magnitud correcto de la probabilidad de encontrar a mi pareja ideal. Contamos las veces que aparece el 20 en el párrafo anterior, que son 7 veces. Entonces la fracción de casos favorables es:
r = 1/20^7 ≈ 8.0E-10
Esta no es la probabilidad de encontrar a la persona ideal, sino la fracción de la población que puede ser tu persona ideal. Así, si alguien posee una r = 0.01 significa que una de cada 100 personas le es favorable (lo cual es una fracción altísima) y por tanto la probabilidad de éxito es prácticamente de 1.0.
La población total del DF y área metropolitana es aproximadamente 20 millones de habitantes, así el número de casos favorables es:
n = 1.0E6*1-5E-8 = 1.5E-2 = 0.015
Ahora debemos proponer un modelo para estimar cuál es la probabilidad de encontrar los casos favorables. Supongamos que ... [continuará]
lunes, agosto 18, 2008
viernes, junio 13, 2008
viernes, septiembre 28, 2007
El espacio de funciones
Ok, el espacio de funciones es algo que apenas estoy entendiendo. Ya debería haberlo entendido porque es fundamental en la mecánica cuántica y sobre todo en los desarrollos que se encuentran con frecuencia en la química cuántica. La idea es sencilla. Si se recuerda, un vector en tres dimensiones es un objeto que especifica un punto en el espacio tridimensional. Ahora, cualquier punto en el espacio P puede ser definido por una terna de 3 números reales, digamos (a,b,c). Estas son las coordenadas del punto. Estas son también las componentes del vector que apunta hacia P en términos de los vectores unitarios {i, j, k}. Como estos vectores pueden ser usados para ubicar cualquier punto en el espacio, o lo que es lo mismo, como cualquier vector en el espacio puede ser expresado en términos de una combinación lineal de estos vectores, se dice que el conjunto de vectores {i, j ,k} es base del espacio tridimensional R³.
En general para que un conjunto de vectores sea base de un espacio, el conjunto debe poder generar todos los vectores pertenecientes a ese espacio. Así para generar el espacio bidimensional, es decir, los puntos de un plano, solo son necesarios dos vectores, por ejemplo los vectores cartesianos {i, j} pero también puede ser cualquier otro par de vectores linealmente independientes, como {r,theta}. Para generar espacios de más dimensiones se necesita una base más grande, es decir con más elementos. En general para generar R^n se necesita un conjunto de n vectores.
El espacio de dos y tres dimensiones es fácilmente imaginable gracias a nuestra intuición geométrica, y también sus vectores de base nos son familiares, pero en el caso de espacios más grandes esta intuición se pierde y sólo podemos imaginarlos por analogía con los espacios que si conocemos. Esto impide la visualización de estos espacios y nos obliga a trabajar con el formalismo matemático que los representa a ellos y a los vectores que contienen. La situación se dificulta más cuando el espacio es de dimensión infinita.
Cuando el espacio tiene dimensiones infinitas entonces aparecen conceptos que ya conocíamos con anterioridad. ¿Qué significa un espacio de dimensiones infinitas? Pues que la base de ese espacio tiene un número infinito de elementos. Y por lo tanto cualquier vector que pertenece a ese espacio, tiene un número infinito de componentes en términos de los vectores de base. Ahora, un vector con infinitos componentes no es un concepto tan extraño como uno pudiera imaginarse. Seguramente ya hemos tratado antes con este tipo de vectores y hemos usado muchas de sus componentes, Y las hemos estado llamando funciones.
Puede que no sea tan lógico como una función puede ser un vector. Pero no es muy difícil darse cuenta de ello. Un vector en un espacio se expresa por sus componentes en términos de los vectores de base. Así el vector en tres dimensiones que va del origen al punto (1,2,3) se expresa como "i+2j+3k" o escribiendo sólo los coeficientes de los vectores de base en el mismo orden, (1,2,3). Se ve que un vector entonces siempre queda definido de manera única por un conjunto ordenado de números.
Ahora consideremos una función definida sobre los números naturales, f(n) = n². Esta función se puede expresar como una lista de pares de números: {(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25),...}. El primer número de cada par es el argumento de la función, y la única información que nos da es el orden en que se evaluó la función. La lista se podría desordenar y podríamos reordenarla gracias al primer número de cada par. Si escribimos solamente los valores de la función en la lista: {1,4,9,16,25,...} tenemos la misma información excepto que tenemos que mantenerla en ese orden. Ahora esta es una lista ordenada de números. Por lo tanto es un vector.
Cuando se considera una función como un vector se están considerando todos los valores de la función al mismo tiempo y se están ignorando los valores específicos que toma el argumento, por lo tanto se pierde parte de la información de la función. Pero para nuestro propósito la información que se pierde no tiene mayor relevancia. La función que hemos definido es válida para valores de n en de los números naturales, n={1,2,3,4,5,...}. Pero podemos definirla sobre los números reales. La diferencia es que ahora las componentes del vector son continuas porque se evalúan sobre valores continuos del argumento. Entonces no podemos escribir un lista como lo hicimos anteriormente porque en cualquier intervalo del argumento, por pequeño que sea, siempre tendremos un número infinito de componentes.
Estos vectores, conceptualizados a partir de funciones de una variable real, generan lo que se conoce como el espacio de funciones de una variable real. Un espacio de funciones debe tener necesariamente un número infinito de vectores de base, y todo vector en el espacio de funciones se debe poder expresar como combinación lineal de estas funciones de base. Esto también es un resultado conocido anteriormente. Un ejemplo de la representación de funciones en términos de una base es la expansión en series de Fourier. Aquí el espacio de funciones es el conjunto de funciones de una variable y los vectores base son el conjunto de funciones {sen(n·π·x/L), cos (n·π·x/L) n=1,2,3,...}.
Así los vectores de base son en sí funciones de base, y la descomposición en componentes de un vector perteneciente al espacio de funciones es una expansión en series de funciones de base. Se puede ahora uno dar cuenta de que en realidad no se ha encontrado nada nuevo con esta conceptualización. Lo que se ha hecho en cambio es abrir el camino para aplicar los métodos del álgebra lineal a los problemas que tratan con funciones de base y el espacio que ellas generan. Y la mecánica cuántica trata casi exclusivamente con este tipo de problemas.
El primer ejemplo de la aplicación de este enfoque va a ser la normalización de la función de onda. Si Psi es la función de onda del sistema entonces la constante de normalización = ∫Psi*·Psi dV. Esto se puede expresar definiendo el producto interior en el espacio de funciones como: f·g = ∫f*·g dV, el cual es análogo al producto interior (producto punto) de un vector finito, porque se multiplican los elementos correspondientes de ambos vectores (funciones) uno a uno y se suman (que equivale a una integración porque las componentes son continuas). El resultado es un número que a la vez sirve para definir la norma de la función: Norma(f) = f·f = (∫f*·f dV)^(1/2).
Un espacio de funciones con un producto interior se conoce como espacio de Hilbert, y es el espacio al que pertenecen las soluciones de la ecuación de Schrödinger (ES). Existe una notación especial para representar las funciones del espacio de Hilbert. Si Psi es una solución de la ES entonces al vector definido por la función se le denota por Psi⟩, y se le llama "ket". Como en álgebra lineal existe vectores renglón y vectores columna, y el producto punto sólo se puede realizar entre un vector columna y un vector renglón entonces se define otro vector a partir de la función Psi al que se le llama "bra", cuyas componentes son los complejos conjugados de las de su correspondiente "ket", y que se denota por: ⟨Psi. Como los "ket's" se consideran objetos diferentes a los "bra's" entonces los espacios que generan también se consideran diferentes, sin embargo ambos espacios tienen las mismas propiedades. El espacio generado por los "ket's" es el mencionado espacio de Hilbert mientras que el espacio generado por los bra's es conocido como espacio Dual. El producto punto se representa entonces por ⟨Psi·Psi⟩ = ∫Psi*·Psi dV, un "bra" por un "ket" y se escribe más comúnmente sin el punto y eliminado una de las barras verticales: ⟨PsiPsi⟩.
La distinción entre "bra's" y "ket's" permite definir otras operaciones entre los elementos del espacio de funciones además del producto punto. Así el producto de un "ket" por un "bra": Psi⟩⟨Psi no es más un producto punto, sino el análogo a un producto exterior, y su resultado sería una matriz de dimensión infinita. Por supuesto tal producto no se puede calcular, pero es un concepto útil porque tiene las propiedades de un operador, ya que transforma la función sobre la que actúa: Psi⟩⟨PsiFi⟩ = ⟨PsiFi⟩Psi⟩. La expresión indica que el resultado del operador sobre una función es el producto de Psi⟩ por el escalar ⟨PsiFi⟩ el cual es, de hecho, la componente que Psi⟩ tiene en Fi⟩. Por tal motivo a los productos como Psi⟩⟨Psi se les conoce como operadores de proyección. Nótese que dado que una función define tanto un "ket" como un "bra", podemos elegir el vector que nos interese según el producto que deseemos formar, sin embargo una vez que formemos un producto que tenga algún significado dentro de la teoría ya no se pueden intercambiar "ket's" y "bra's porque las manipulaciones deben obedecer las leyes del álgebra matricial. Productos como a⟩b⟩ no tienen significado dentro del formalismo ya que son operaciones imposibles en el álgebra matricial y por lo tanto no deben aparecer dentro de ningún desarrollo correcto de la teoría.
Ahora algunas definiciones. Se dice que una función cuya norma es la unidad, ⟨aa⟩ = 1, está normalizada. Se dice también que dos funciones a⟩ y b⟩ son ortogonales si su producto interior ⟨ab⟩ = 0. Un conjunto de funciones es ortogonal si el producto interior de cualquier par de funciones diferentes del conjunto es igual a cero. Si además las funciones del conjunto están normalizadas entonces el conjunto es ortonormal. Ahora recordemos que una base de un espacio es un conjunto de funciones que genera todo el espacio. Entonces una base es ortogonal si es un conjunto ortogonal. Las bases ortogonales son muy importantes porque cualquier función que pertenezca a un espacio particular se puede expandir en términos de una base ortogonal de ese espacio de una manera sencilla. De hecho la expansión se expresa fácilmente como: Fi⟩ = Sum_i(⟨Psi_iFi⟩Psi_i⟩). La demostración no es complicada pero no la discutiré ahora.
viernes, abril 27, 2007
El argumento del Apocalipsis
Existe una curiosa forma de predecir la fecha en que ocurrirá la extinción de la humanidad. Y no tiene que var nada con profecías, ni con adivinos ni nada de eso. Y tampoco con teoría alguna sobre cambios climáticos, catástrofes goelógicas, meteoritos o guerras. En cambio es meramente un simple ejercicio de lógica y probabilidad. Se le conoce como "argumento del Apocalipsis" y consiste en lo siguiente:
Imaginemos que "N" es el número total de personas que han vivido, que viven y que vivirán hasta antes de la extinción de la humanidad (la población acumulada hasta esa fecha). Ahora, consideremos el número total de personas que han vivido hasta nuestros días (la población acumulada actual), y de notémoslo por "n". Claramente n ≤ N y n > 0. Por lo tanto 0 < r="n/N,">0, es precisamente "1-a", por ejemplo la probabilidad de estar en [0.5,1] es 1-0.5 = 0.5 = 100% y de estar en [0.7,1] es 1-0.7=0.3=30%
Por lo tanto para asegurar una cierta probabilidad "p", "r" debe caer en el intervalo [1-p,1]. Así, si queremos asegurar una probabilidad del 99% entonces el intervalo es [0.01,1]. Esto quiere decir que "r" tomará valores entre 0.01 y 1 el 99% de las veces. Ahora se pueden calcular los valores de "N" para los cuales "r" cae dentro del intervalo requerido. Recordando que r=n/N, entonces 0.01 ≤ n/N ≤ 1, esto implica que 0.01N ≤ n ó N ≤ 100n. Esto significa que con un 99% de probabilidad la humanidad se extinguirá cuando la población acumulada alcance un valor cien veces superior a la población acumulada actual.
Estos últimos datos no son difíciles de estimar. Según la Wikipedia (en donde se discute ampliamente el argumento) la población acumulada hasta la fecha es de unos 60000 millones de humanos. Además se estima que la población viva se alcanzará los 9000 millones de personas para el año 2050 y que se estabilizará en torno a los 10000 millones para el año 2200. Por lo tanto N &le 100n = 100x60000 millones = 6 billones de habitantes. Suponiendo ahora una esperanza de vida de 100 años para la población de las futuras generaciones, se ve que la población acumulada aumentará en 10000 millones cada 100 años, por lo tanto el tiempo en que la población acumulada alcance los 6 billones de humanos es: (6 billones - 60000 millones)/10000 millones x 100 = 59400 años.
Concluimos que en unos 60 milenios más, habrá un 99% de probabilidad de que la raza humana llegue a su fin. Habrá que pensar que tan válido es un argumento como éste, que no me deja muy convencido, aunque la deducción parece aceptable.
lunes, diciembre 11, 2006
Sumatoria
Una pequeña sumatoria que aprece en la derivación de la distribución de Bose-Einstein y Fermi-Dirac. La puse para recordarla, pero si alguien lo quiere hacer por mí, no me enojo. El problema es que hay que probar que la siguiente igualdad es cierta:
Donde {n_i} indica que la suma se hace sobre los números n_1, n_2, n_3, ... (infinitos n_i's) tales que la suma de todos ellos es igual a N, y n_imax es el valor máximo que puede tomar un n_i (cualquier número entre cero e infinito fijado de antemano, en particular es 1 para Fermi-Dirac e infinito para Bose-Einstein).
viernes, septiembre 29, 2006
Teorema de Stokes
Acabo de leer una demostración del teorema de Stokes que tiene unos pasos que me parecen innecesarios. Voy a leerlo de nuevo a ver que onda. La demostración es la del libro "cálculo superior" de Murray R. Spiegel. ¿Alguien ha leído esa demostración?